Tổng hợp công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản đầy đủ nhất

Trong phân tích toán học, đạo hàm là một hàm mô tả sự thay đổi tại một điểm. Hay nói cách khác, đạo hàm là tỉ số giữa số gia và hàm số tại điểm x0. Độ lớn của sự thay đổi và hướng thay đổi biểu thị giá trị của đạo hàm. Dưới đây là tóm tắt công thức đạo hàm và ví dụ chi tiết.

Công thức đạo hàm cơ bản

Trong quá trình học, nếu kiến ​​thức không được rèn luyện và mài giũa thì sẽ nhanh chóng bị lãng quên. Công thức đạo hàm cũng vậy, bên dưới là bảng đầy đủ các công thức đạo hàm cơ bản bao gồm:

Bạn đang xem: Tổng hợp công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản đầy đủ nhất

• Đạo hàm của f(x) với x là biến

• Đạo hàm của f(u) đối với u là một hàm

• Đạo hàm của một số phân số hữu tỉ

Công thức đạo hàm lượng giác

Đạo hàm của hàm lượng giác nghịch đảo và hàm lượng giác

Công thức tính đạo hàm sơ cấp

Công thức tính đạo hàm bậc cao

Đạo hàm và phản đạo hàm trong toán học

Trong những thông tin trên, bạn đọc đã được làm quen với khái niệm phái sinh. Vậy hàm nguyên thủy trong toán học là gì? Mối quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm là gì?

Đạo hàm của hàm thực f cho trước là hàm F. Hàm F có đạo hàm bằng f. Vi phân không xác định là quá trình tìm nguyên hàm. Việc tìm biểu thức của nguyên hàm sẽ khó hơn việc tìm đạo hàm.

Trong toán học, nguyên hàm được coi là con của đạo hàm. Bởi vì nguyên thủy được xác định từ đạo hàm. Hay nói cách khác phép tính ngược lại của việc tìm đạo hàm là tìm tích phân. Qua đó, có thể thấy đạo hàm và nguyên hàm trong toán học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.

Các dạng toán áp dụng công thức đạo hàm và nguyên hàm

Dưới đây là tổng hợp một số dạng toán, bài tập kèm ví dụ để các bạn nắm và hiểu rõ hơn khi áp dụng công thức đạo hàm:

Dạng 1: Sử dụng khái niệm để xác định thuộc tính phái sinh

Xem thêm : 3 giả thuyết về nguồn gốc từ vựng tiếng Việt và những điều thú vị mà bạn chưa biết

Đây là một trong những dạng toán đạo hàm cơ bản, có lời giải đơn giản nhất trong các bài tập. Để giải bài tập, học sinh sẽ dựa vào định nghĩa và vận dụng các công thức cơ bản để tính toán chính xác. Cụ thể:

Dạng 2: Chứng minh các phương trình liên quan đến đạo hàm

Trong loại bài tập này, thường sẽ phải chứng minh một mối quan hệ nhất định dựa trên các điều kiện sẵn có. Yêu cầu học sinh tính toán và chứng minh chính xác các phương trình liên quan đến đạo hàm và đưa ra kết quả cuối cùng.

Dạng 3: Biết điểm tiếp tuyến, viết phương trình tiếp tuyến

Đây là dạng bài tập khá phổ biến áp dụng các công thức đạo hàm. Cụ thể, bài toán thường sẽ đưa ra phương trình tiếp tuyến của hàm số đồ thị đường cong (C): y= f(x), với một tiếp điểm M(x0 ; y0), có dạng: y = y'(x0) (x-x0) + y0. Vì vậy chỉ cần thay thế dữ liệu đã cho để tìm ra câu trả lời đúng.

Ví dụ: Cho hàm y= x3 + 3mx2 + ( m+1)x + 1 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tọa độ x = -1 và đi qua điểm A(1;2).

TXD: D = Rs

y’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1

Với x0 = -1 => y0= 2m -1, f'( -1) = -5m + 4

Phương trình tiếp tuyến tại M(-1; 2m – 1) : y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d)

Ta có A (1;2) ∈ (d) ( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2 => m = 5/8

Dạng 4: Viết phương trình tiếp theo khi biết hệ số góc

Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C): y = f(x), biết rằng Δ có hệ số góc k cho trước

Gọi M(x0 ; y0) là điểm tiếp xúc. Tính y’ => y'(x0)

Phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = (x0 ) = k (i)

x0 => y0 = f(x0) => Δ : y = k (x – x0 )+ y0

Lưu ý: Hệ số góc k = y'(x0 ) của tiếp tuyến Δ thường cho dạng gián tiếp sau:

Ví dụ: Cho hàm số y=x3 +3 × 2 – 9x + 5 ( C). Tìm tiếp tuyến có độ dốc nhỏ nhất trong số tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C).

Ta có y’ = f'( x ) = 3×2 + 6x – 9

Gọi x0 là hoành độ của tiếp tuyến nên f'(x0) = 3 x02 + 6 x0 – 9

Ta có 3 x02 + 6×0– 9 =3 (x02+ 2×0 +1) – 12 = 3 (x0+1)2– 12 > – 12

Xem thêm : Hàng xóm tiếng Anh là gì? Tổng hợp từ vựng liên quan đến hàng xóm trong tiếng Anh

Vậy min f(x0)= – 12 tại x0= -1 => y0=16

Suy ra phương trình tiếp tuyến tìm: y= -12(x+1)+16 y= -12x + 4

Dạng 5: Bất đẳng thức và phương trình có đạo hàm

Dạng toán này sẽ phải kết hợp nhiều công thức đạo hàm và nguyên hàm mới có thể giải được các bất phương trình hoặc phương trình để tìm ra kết quả chính xác.

Dạng 6: Sử dụng công thức đạo hàm tích phân

Dạng bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các công thức đạo hàm lớp 11 được chia sẻ ở trên. Nếu xuất hiện hàm phức tạp, bạn có thể đơn giản hóa hàm rồi vi phân, đặc biệt là hàm lượng giác.

Mẫu 7: Tính đạo hàm bậc cao

Đối với các bài tập đạo hàm bậc cao thường thiên về tính đạo hàm bậc hai trở lên nên mọi người có thể áp dụng các công thức đạo hàm bậc cao trên hoặc y(n) = (y(n-1))’.

Ngoài ra, để tính đạo hàm cấp n, bạn sẽ phải tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3… rồi suy ra công thức tính đạo hàm cấp n.

Một số bài tập tính đạo hàm để tự luyện tập

Dưới đây là một số bài tập để các bạn có thể áp dụng các công thức đạo hàm tích phân trên vào thực hành:

Xem thêm: Đạo hàm logarit là gì? Kiến thức đầy đủ và chính xác nhất về phái sinh

Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

Đạo hàm có nhiều ứng dụng không chỉ trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khác. Sau đây là một số ứng dụng của đạo hàm:

Trong Toán học, đạo hàm có ứng dụng như là tiếp tuyến của một đường thẳng và là phương trình tiếp tuyến.

Trong Vật lý, đạo hàm giúp ta tính được:

Trong cuộc sống, đạo hàm được ứng dụng trên đồng hồ xe máy hay khi tính thời gian của các vận động viên thi đấu chạy, bơi tiếp sức… Qua những thông tin trên có thể thấy đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. các khu vực khác nhau.

Phương pháp và cách giải đạo hàm nhanh nhất

Nắm vững kiến ​​thức về đạo hàm rồi vận dụng vào giải các bài tập thực hành. Đầu tiên các bạn cần nắm vững lý thuyết đạo hàm từ định nghĩa, tính chất, ý nghĩa, công thức (đạo hàm của phép nhân, phép chia, công thức đạo hàm giá trị tuyệt đối…). Sau đó bạn cần vận dụng những kiến ​​thức đã học để giải bài tập.

Làm nhiều và đa dạng các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp bạn nắm vững kiến ​​thức tốt hơn. Lý thuyết luôn đi đôi với thực hành nên hãy cố gắng vận dụng cả hai yếu tố này để học tốt hơn nhé.

Hơn nữa, ngày nay chỉ học kiến ​​thức ở trường thôi là chưa đủ. Bạn có thể tìm thêm kiến ​​thức trên mạng. Một số trang web tính toán đạo hàm trực tuyến miễn phí sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án chính xác một cách nhanh chóng. Các bạn có thể tính đạo hàm mathway ngay trên website mathway, hoặc ở mục “kiến thức cơ bản” của Nguyễn Tất Thành cũng có nhiều mục về đạo hàm để các bạn tham khảo.

Trên đây là một số kiến ​​thức hữu ích về các công thức đạo hàm phổ biến nhất. Hy vọng qua bài viết các bạn đã nắm được các công thức đạo hàm và ứng dụng của chúng trong thực tế. Từ đó vận dụng vào giải bài tập và đạt được kết quả học tập tốt.

Nguồn: https://truongnguyentatthanh.edu.vn
Danh mục: Giáo dục