Nguyên hàm từng phần là gì? Tổng hợp công thức tính từ cơ bản đến nâng cao đầy đủ nhất

Công thức tính hàm tích phân nói chung hay tích phân từng phần nói riêng là một trong những phương pháp giải toán mà học sinh thường gặp. Bài viết này của Nguyễn Tất Thành sẽ tổng hợp các công thức và lời giải cho tất cả các loại bài toán nguyên hàm từng phần.

Hàm nguyên thủy là gì? Chức năng một phần là gì?

Trong toán học, cụ thể là phép tính (còn được gọi là đại số), nguyên hàm của một hàm thực f cho trước là hàm F có đạo hàm bằng f, nghĩa là F′ = f. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân vô thời hạn.

Bạn đang xem: Nguyên hàm từng phần là gì? Tổng hợp công thức tính từ cơ bản đến nâng cao đầy đủ nhất

Việc tìm biểu thức của nguyên hàm khó hơn việc tìm đạo hàm và đôi khi không thể thực hiện được. Tuy nhiên, bất kỳ hàm số nào liên tục trên đoạn hoặc khoảng từ giá trị a đến b thì tồn tại nguyên hàm của hàm đó trên đoạn/khoảng từ a đến b nêu trên.

Chức năng một phần là gì?

Phương pháp tích phân từng phần thường được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm phức, tức là kết hợp nhiều loại hàm trong một phép tính, bao gồm: Hàm vô tỷ, hàm logarit, hàm mũ hoặc hàm mũ. số lượng giác.

Công thức cơ bản để tính hàm từng phần

Cho hai hàm u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K

=> Ta có công thức nguyên hàm riêng: ∫udv = uv−∫vdu.

Lưu ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm riêng nếu nguyên hàm có dạng I=∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm: Hàm logarit, hàm đa thức , hàm lượng giác, hàm số mũ.

Các bước tính nguyên hàm riêng của ∫f(x).g(x)dx

Bước 1: Đặt

Công thức từng phần đầy đủ nhất

Trong đó G(x) là nguyên hàm bất kỳ của hàm g(x)

Bước 2: Theo công thức nguyên hàm riêng ta có:

∫f(x).g(x)dx=f(x).G(x)−∫G(x).f′(x)dx.

Xem thêm : 50+ Mẫu câu, từ vựng & cách học tiếng Anh giao tiếp cho người đi làm hiệu quả

Lưu ý: Khi I=∫f(x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm: Hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, Ta đặt mũ theo quy tắc đặt bạn.

• Nhật ký lớn nhất (hàm log, ln) – Nhiều thứ hai (hàm đa thức)

• Hàm lượng giác (hàm lượng giác) – Hàm bậc hai (hàm số mũ)

Nghĩa là hàm nào đứng trước trong câu trên thì ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Như sau:

Xem thêm:

Bài tập mẫu bao gồm việc áp dụng công thức hàm từng phần

Để dễ dàng áp dụng các công thức hàm từng phần trên vào bài tập thực hành, Nguyễn Tất Thành xin giới thiệu các bài toán từ cơ bản đến nâng cao sau đây.

Các loại vấn đề chức năng một phần phổ biến

Đây là 4 loại bài toán nguyên thủy một phần mà bạn có thể dễ dàng gặp phải trong các bài kiểm tra mẫu hoặc bài kiểm tra chính thức.

Một số bài toán mẫu có lời giải

Dưới đây là tổng hợp một số bài toán tính tích phân từng phần có lời giải. Các bậc phụ huynh có thể tham khảo và cho con luyện tập tại nhà để củng cố kiến ​​thức, rèn luyện kỹ năng làm các bài toán từng phần tốt hơn.

Mách bạn một mẹo nhỏ để tính nhanh hàm từng phần

Xem thêm : Ôn tập 21 chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia môn tiếng Anh làm bài thi tự tin hơn

Ngoài cách tính hàm đạo hàm cơ bản như trên, chúng ta cũng có thể áp dụng phương pháp đường chéo vào phép tính như sau.

Mẫu 1: ∫f(x).e^(ax+b)dx

Dạng 2: ∫f(x).sin(ax+b)dx; ∫f(x).cos(ax+b)dx

Mẫu 3: ∫f(x).ln^n(ax b)dx

Dạng 4: Nguyên hàm lặp (Tích phân lặp)

Nếu khi tính một hàm tích phân (tích phân) theo sơ đồ đường chéo, chúng ta lặp lại hàm số cần tính ban đầu (theo hàng ngang) thì dừng ở hàng đó và không tính tiếp.

1. Dấu khi dừng: chú ý trên cùng một hàng ngang tích của 2 phần tử ở 2 cột (không bao gồm dấu và hệ số) giống với hàm số cần tính ban đầu.

2. Ghi kết quả (nhân theo đường chéo) như ví dụ trên.

3. Nối 2 phần tử (tại dòng dừng), thêm dấu ∫ trước kết quả và coi dấu gạch ngang là đường chéo, sử dụng quy tắc dấu phụ.

Tóm lại, để có thể nhớ kiến ​​thức và nắm vững cách giải các hàm riêng phần, các bạn cần luyện tập nhiều hơn trong việc giải các dạng bài toán khác nhau. Chúc các em đạt điểm cao môn Toán.

Xem thêm:

Nguồn: https://truongnguyentatthanh.edu.vn
Danh mục: Giáo dục