Khái niệm đường trung tuyến: Tính chất, công thức và bài tập liên quan

Bạn có biết đường trung tuyến là gì không? Tìm hiểu về đặc điểm, công thức và bài tập áp dụng qua bài viết dưới đây của Nguyễn Tất Thành để có cái nhìn rõ ràng hơn nhé!

1. Khái niệm đường trung tuyến

Trong một tam giác, đường trung tuyến là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến khác nhau.

Bạn đang xem: Khái niệm đường trung tuyến: Tính chất, công thức và bài tập liên quan

Với các tam giác cân và tam giác đều, mỗi đường trung tuyến chia đôi góc ở đỉnh, làm cho hai cạnh liền kề có chiều dài bằng nhau.

2. Đặc điểm của đường trung tuyến

– Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này gọi là trọng tâm của tam giác.

Khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến nối đỉnh đó.

– Tam giác vuông có một góc 90° có hai cạnh vuông góc nên đường trung tuyến có đặc điểm riêng của tam giác vuông.

Trong một tam giác bất kỳ, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh huyền đó.

– Mỗi đường trung tuyến trong tam giác chia diện tích tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba đường trung tuyến sẽ chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.

– Đặc điểm của đường trung tuyến trong tam giác cân

Đường trung tuyến từ đỉnh đến đáy trong một tam giác cân luôn vuông góc với đáy và cũng chia tam giác đó thành hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

– Đặc điểm đường trung tuyến trong tam giác đều

Ba đường trung tuyến của một tam giác đều chia tam giác đó thành sáu tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.

Trong một tam giác đều, đường thẳng nào đi qua đỉnh và trọng tâm của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau.

3. Định lý về đường trung tuyến trong tam giác

Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác đều cắt nhau tại một điểm, điểm này gọi là trọng tâm của tam giác.

Định lý 2: Đường trung tuyến trong một tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau, khi ba đường trung tuyến cắt nhau sẽ tạo thành sáu tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.

Định lý 3: Trọng tâm của một tam giác là khoảng cách từ mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

4. Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Độ dài đường trung tuyến trong một tam giác có thể được xác định dựa trên độ dài các cạnh và được tính theo định lý Apollonius.

Trong đó:

• a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác
• ma, mb, mc là độ dài các đường trung tuyến của tam giác

5. Bài tập ứng dụng

Câu 1: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 10 cm và BC = 12 cm. M là trung điểm của BC. Tính độ dài đường trung tuyến AM:

A. 22 cm

B. 2 cm

C. 6 cm

D. 8 cm

Câu 2: Tam giác ABC có đường trung tuyến AM = 9 cm và trọng tâm G. Đoạn AG có độ dài:

A. 4,5 cm

B. 3cm

C. 6 cm

D. 4 cm

Câu 3: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN, nếu BM = CN thì tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Câu 4: Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại điểm O. Trên tia Ox, chọn hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, có AB = 2 OA. Trên yy’ chọn hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L và M gọi P là trung điểm đoạn MB, Q là trung điểm đoạn LB. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A.

Câu 5: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Kéo dài BM được đoạn ME = MG. Kéo dài CN để được đoạn NF = NG. Chứng minh rằng:

Một. EF = BC

b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm của đoạn BC.

Câu 6: Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 17 cm và BC = 16 cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Một. Tính độ dài AM

b. Chứng minh AM vuông góc với BC

Câu 7: Cho tam giác đều ABC, G là trọng tâm. Chứng minh rằng các đoạn GA, GB, GC đều có độ dài bằng nhau.

Câu 8: Cho tam giác ABC. Đối diện với cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3 AC. Đoạn BE cắt CD tại M. Chứng minh rằng:

Một. Đoạn AM = 1/2 đoạn BC

b. Điểm M là trung điểm của đoạn CD

Câu 9: Tam giác DE cân tại D, đường trung tuyến DI

Một. Chứng minh tam giác DEI bằng tam giác DFI

b. Góc DIE và DIF là những loại góc nào?

c. DE = DF = 13 cm và EF = 10 cm. Tính độ dài DI

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối diện của MA chọn điểm D sao cho MD = MA

Một. Tính số đo góc ABD

b. Chứng minh góc ABC bằng góc BAD

c. So sánh độ dài AM và BC

Câu 11: Trong tam giác nhọn ABC có AB

Một. Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác DMC và AB // CD

b. Gọi F là trung điểm CD, tia FM cắt AB tại K. Chứng minh M là trung điểm đoạn KF

Xem thêm : Nốt ruồi dưới cằm – Bật mí về vận mệnh, tướng số và nghề nghiệp chuẩn nhất

c. Gọi E là trung điểm AC, BE cắt AM tại G, I là trung điểm AF. Chứng minh ba điểm K, G, I thẳng hàng

Câu 12: Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến BD và CE có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại điểm G.

Một. Tam giác BGC là tam giác gì?

b. So sánh hai tam giác BCD và CBE

c. Tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 13: Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, chọn hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.

Một. Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh độ dài BE và GE

b. Khi CI cắt GE tại O thì điểm O trong tam giác ABC là điểm gì? Chứng minh BE = 9 OE

Câu 14: Trong tam giác vuông ABC tại A có AB = 8 cm, BC = 10 cm, chọn điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4 cm. Chọn điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn DC.

Một. Tính độ dài đoạn AD

b. Điểm M trong tam giác BCD là điểm gì?

c. Gọi E là trung điểm BC, chứng minh các điểm D, M, E thẳng hàng

Câu 15: Trong tam giác vuông ABC tại A có đường trung tuyến AM, chọn điểm D nằm trên tia đối diện của MA sao cho MD = MA

Một. Tính số đo góc ABD

b. Chứng minh góc ABC bằng góc BAD

c. So sánh độ dài AM và BC

Câu 16: Xét tam giác ABC nhọn có AB

Một. Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác DMC và AB song song với CD

b. Gọi F là trung điểm CD, tia FM cắt AB tại K. Chứng minh M là trung điểm đoạn KF

Xem thêm : Nốt ruồi dưới cằm – Bật mí về vận mệnh, tướng số và nghề nghiệp chuẩn nhất

c. Gọi E là trung điểm AC, BE cắt AM tại G, I là trung điểm AF. Chứng minh ba điểm K, G, I thẳng hàng

Câu 17: Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, chọn hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.

Một. Chứng minh các điểm B, G, E thẳng hàng và so sánh độ dài BE và GE

b. Tia CI cắt GE tại điểm O. Xác định điểm O trong tam giác ABC và chứng minh BE bằng 9 lần OE

Câu 18: Trong tam giác vuông ABC tại A có AB = 8 cm, BC = 10 cm, chọn điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4 cm, lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.

Một. Tính độ dài AD

b. Xác định điểm M trong tam giác BCD

c. Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh D, M và E thẳng hàng

Trên đây là bài viết Nguyễn Tất Thành giải thích về đường trung tuyến, bao gồm các tính chất và công thức tính của nó. Hy vọng những thông tin này sẽ hữu ích với bạn đọc. Cảm ơn rất nhiều!

Nguồn: https://truongnguyentatthanh.edu.vn
Danh mục: Blog