Định lý Pythagoras – Bài tập về Định lý Pythagoras

2 giờ 21 phút trước 1

Nội dung bài viết

I. Nhà toán học Pythagoras
II. Lý thuyết định lý Pythagore
III. Bài tập trắc nghiệm định lý Pythagore
IV. Bài tập tiểu luận Định lý Pythagore
V. Bài tập thực hành định lý Pythagore

Định lý Pythagoras được coi là một trong những kiến thức cơ bản nhất của hình học. Đây là nền tảng quan trọng giúp giải quyết các vấn đề phức tạp sau này. Hãy tập trung và ghi nhớ công thức này một cách cẩn thận.

Có thể bạn quan tâm

Định lý Pythagoras có thể được khái quát hóa cho nhiều bối cảnh khác nhau, bao gồm không gian đa chiều, không gian Euclide và cả các tam giác không vuông. Nó còn là một biểu tượng quan trọng trong toán học và được nhắc đến trong nhiều lĩnh vực khác nhau như văn hóa, âm nhạc, nghệ thuật. Dưới đây là toàn bộ kiến thức về Định lý Pythagoras và các bài tập. Hãy cùng theo dõi nhé! Bạn cũng có thể xem cách chứng minh định lý này cho tam giác vuông.

Bạn đang xem: Định lý Pythagoras – Bài tập về Định lý Pythagoras

I. Nhà toán học Pythagoras

Trong toán học, định lý Pythagore là mối liên hệ quan trọng giữa các cạnh trong một tam giác vuông.

– Pythagoras (sinh khoảng 580 đến 572 TCN – mất khoảng 500 đến 490 TCN) là một triết gia người Hy Lạp và là người sáng lập phong trào tôn giáo mang tên Pythagoras. Ông thường được biết đến như một nhà khoa học và nhà toán học vĩ đại. Trong tiếng Việt, tên của ông thường được phiên âm từ tiếng Pháp (Pythagore) sang Py – ta – go

– Pythagoras đã thành công trong việc chứng minh tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 và nổi tiếng nhất với định lý toán học mang tên ông. Ông còn được mệnh danh là “cha đẻ của số học”. Ông có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tôn giáo vào cuối thế kỷ thứ 7 trước Công nguyên. Về cuộc đời và sự nghiệp của ông có rất nhiều truyền thuyết nên không dễ tìm ra sự thật lịch sử. Pythagoras và các học trò của ông tin rằng mọi thứ đều liên quan đến Toán học và mọi thứ đều có thể được dự đoán thông qua các chu kỳ.

II. Lý thuyết định lý Pythagore

1. Định lý Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

ΔABC vuông tại A ⇒ BC2 = AB2 + AC2

2. Công thức Pythagore nghịch đảo

Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

ΔABC có BC2 = AB2 + AC2 ∠BAC = 90o

3. Sơ đồ tư duy định lý Pythagore

III. Bài tập trắc nghiệm định lý Pythagore

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại B. Khi đó

A. AB2 + BC2 = AC2B. AB2 – BC2 = AC2C. AB2 + AC2 = BC2D. AB2 = AC2 + BC2

Ta có tam giác vuông ABC tại B, theo định lý Py-ta-go ta có: AB2 + BC2 = AC2

Chọn đáp án A

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Tính độ dài cạnh BC biết AB = AC = 2dm

A. BC = 4 dm B. BC = √6 dm C. BC = 8 dm D. BC = √8 dm

Áp dụng định lý Pytago ta có: BC2 = AB2 + AC2

Sau đó chúng ta có:

$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}(dm)$

Chọn đáp án D.

Bài 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 26cm và độ dài hai cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài hai cạnh góc vuông?

A. 10 cm, 22 cmB. 10cm, 24cm C. 12cm, 24cm D. 15cm, 24cm

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là x, y (x, y > 0)

Theo định lý Py – ta – go ta có: x2 + y2 = 262 ⇔ x2 + y2 = 676

Theo bài ta có:

$\frac{x}{5}=\frac{y}{12} \Rightarrow \frac{x^{2}}{25}=\frac{y^{2}}{144}=\frac{x^ {2}+y^{2}}{25+144}=\frac{676}{169}=4$

Sau đó chúng ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x^{2}=25.4 \\ y^{2}=144.4\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=10 \mathrm{~cm} \\ x=24 \mathrm{~cm}\end{array}\right.\right.$

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho tam giác vuông ABC tại A có AC = 20cm. Vẽ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài cạnh AB và AH?

A. AH = 12cm, AB = 15cmB. AH = 10cm, AB = 15cmC. AH = 15cm, AB = 12cmD. AH = 12cm, AB = 13cm

Ta có: BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py-ta-go ta có:

BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AB2 = BC2 – AC2 = 252 – 202 = 225 ⇒ AB = 15cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lý Py-ta-go ta có:

HB2 + HA2 = AB2 ⇒ AH2 = AB2 – HB2 = 152 – 92 = 144 ⇒ AH = 12cm

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm

Chọn đáp án A

Bài 5: Tặng tranh. Tính x

A.x = 10cmB. x = 11cmC. x = 8cm D. x = 5cm

Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:

⇒ x2 + 122 = 132 ⇒ x2 = 132 – 122 = 25

Khi đó: x = 5cm

Chọn đáp án D.

IV. Bài tập tiểu luận Định lý Pythagore

Câu hỏi 1

Xem thêm : Cách copy từ Excel sang Word, copy công thức nhanh chóng, dễ hiểu nhất

Tìm độ dài x trong hình 127.

Phần thưởng

– Hình a

Áp dụng định lý Pytago ta có:

x2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 ⇒ x = 13

– Hình b

Ta có: x2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5

⇒ x = √5

Hình c

Theo định lý Pytago 292 = 212 + x2

Vậy x2 = 292 – 212 = 841 – 441 = 400

⇒ x = 20

– Hình d

Theo định lý Pytago ta có:

x2 = (√7)2 + 32 = 7 + 9 = 16

⇒ x = 4

Câu 2. Đoạn lên dốc từ C đến A dài 8,5m, chiều dài đoạn CB là 7,5m. Tính độ cao AB.

Vẽ hình minh họa:

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC, vuông tại B, ta có:

AB2 + BC2 = AC2

Do đó AB2 = AC2 – BC2

= 8,52 – 7,52

= 72,25 – 56,25

= 16

⇒ AB = 4 (m)

Bài học 3:

Giải pháp

Hãy nhìn vào hình minh họa:

Kí hiệu như hình vẽ:

Vì mặt đất vuông góc với chân tường nên góc C = 90°.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC, ta có:

AC2 + BC2 = AB2

⇒ AC2 = AB2 – BC2 = 16 – 1 = 15

⇒ AC = √15 ≈ 3,87(m), nghĩa là chiều cao của bức tường là 3,87m.

Bài 4

a) 9cm, 15cm, 12cm.

b) 5dm, 13dm, 12dm.

c) 7m, 7m, 10m.

Phần thưởng

a) Ta có 92 = 81 ; 152 =225 ; 122 = 144

Mà 225 = 144 + 81

Vậy Theo định lý Py-ta-go, tam giác có ba cạnh dài 9cm, 12cm, 15cm là tam giác vuông.

b) Ta có 52 = 25 ; 132 =169 ; 122 = 144

Mà 169 = 144 + 25

Vậy Theo định lý nghịch đảo Py-ta-go, tam giác có ba cạnh dài 5dm, 13dm, 12dm là tam giác vuông.

c) Ta có 72 = 49 ; 102 = 100

100 ≠ 49 + 49

Xem thêm : Phân tích chiều tối qua bình giảng của Hồ Chí Minh

Vậy tam giác có ba cạnh dài 7m, 7m, 10m không phải là tam giác vuông

V. Bài tập thực hành định lý Pythagore

Bài học 1:

Cho tam giác vuông ABC tại A. Biết AB + AC = 49cm và AB – AC = 7cm. Tính cạnh BC.

Bài học 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh BC có chiều dài 26cm, tỉ số giữa AB và AC là 5:12. Tính độ dài AB và AC.

Bài học 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Biết BH = 18 cm và CH = 32 cm. Tính độ dài cạnh AB và AC.

Bài học 4:

Cho tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 11cm. Vẽ chiều cao AH biết BH = 26cm. Tính độ dài CH?

Bài 5: Cho tam giác vuông ABC tại A. Vẽ đường cao AH vuông góc với BC.

a/ Chứng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH2

b/ Trên đoạn AB lấy điểm E, trên đoạn AC lấy điểm F. Chứng minh: Đoạn EF ngắn hơn cạnh BC.

c/ Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính các độ dài AH, BH, CH.

Bài học 6:

Cho tam giác cân ABC có AB = AC = 17cm. Vẽ đường cao BD vuông góc với AC. Tính độ dài BC biết BD = 15cm.

Bài 7: Cho tam giác ABC. Biết BC = 52cm, AB = 20cm, AC = 48cm.

a/ CM: Tam giác ABC vuông tại đỉnh A.

b/ Vẽ đường cao AH. Tính độ dài AH.

Bài học 8:

Xét tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB, AC và BC tỉ lệ với:

a/ 9; 12 và 15b/3; 2,4 và 1,8.

c/4; 6 và 7 ngày/4; 4 và 4.

Bài 9: Cho tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH, lấy điểm D. Trên tia đối diện của tia HA lấy E sao cho HE = AD. Đường thẳng vuông góc với AH tại D cắt AC tại F.

Chứng minh rằng: EB vuông góc với EF.

Bài 10: Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên phân giác của góc xOy. Từ H kẻ các đường thẳng vuông góc xuống các cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox và B thuộc Oy).

a) Chứng minh tam giác HAB là tam giác cân

D là điểm chiếu của A lên trục Oy và C là giao điểm của AD với OH.

Chứng minh BC vuông góc với Ox.

Khi góc xOy bằng 60°, chứng minh OA = 2OD.

Bài 11: Trong tam giác cân ABC, tại A, M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Các đường thẳng vuông góc với AB, AC tại M và N cắt nhau tại điểm O. Đường thẳng AO cắt BC tại H. Chứng minh:

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M và N là trung điểm của các cạnh AB và AC. Các đường thẳng vuông góc AB, AC tại M; N cắt điểm O, AO cắt BC tại H. Chứng minh:

AMO bằng ANO

AH là đoạn thẳng chia đôi góc A

HB bằng HC và AH vuông góc với BC

So sánh OC và HB

Bài 12: Trong tam giác cân ABC (AB = AC). Từ trung điểm M của BC kẻ ME vuông góc với AC và MF vuông góc với AC. Chứng minh:

BEM bằng CFM

AE bằng AF

AM là đoạn thẳng chia đôi góc EMF

So sánh MC và ME

Bài 13: Tam giác ABC có góc vuông tại A, AB = 8cm, AC = 6cm.

Tính BC.

Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 2cm; Trên tia đối diện của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh rằng ∆BEC = ∆DEC.