Cực trị của hàm số là gì? Cách tìm và bài tập vận dụng thường gặp

Cực trị của hàm số là một trong những phần quan trọng của kiến ​​thức đại số 3. Nhằm giúp học sinh dễ dàng nắm bắt và vận dụng kiến ​​thức này hơn. Nguyễn Tất Thành đã tổng hợp tất cả các khái niệm và cách tìm cực trị của các hàm số chung ngay dưới đây.

Cực trị của hàm số là gì?

Điểm cực trị của hàm là giá trị làm cho hàm thay đổi hướng khi thay đổi. Về mặt hình học, cực trị của hàm số biểu thị khoảng cách lớn nhất từ ​​điểm này đến điểm khác và ngược lại.

Lưu ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất KHÔNG phải là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm.

Các lý thuyết liên quan đến điểm cực trị của hàm số

Định nghĩa giá trị tối đa và giá trị tối thiểu

Giả sử hàm f được xác định trên K (K ⊂ ℝ) và x0 ∈ K.

• x0 được gọi là điểm cực đại của hàm f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) . Khi đó f(x0) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm f.

• x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm f nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f(x) > f(x0), ∀ x ∈ (a;b) \{x0} . Khi đó f(x0) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm f.

Một số lưu ý chung:

1. Điểm cực đại (tối thiểu) x0 thường được gọi là điểm cực trị. Giá trị tối đa (tối thiểu) f(x0) của hàm thường được gọi là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K.

2. Nói chung, giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm f trên tập K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm f trên khoảng (a;b) chứa x0.

3. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm f.

Các định lý về cực trị của hàm số

Định lý 1: Giả sử hàm f đạt cực đại tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f'(x0) = 0.

Một số lưu ý chung:

1. Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực đại tại điểm x0.

2. Một hàm số có thể đạt cực đại tại điểm mà hàm số đó không có đạo hàm.

Định lý 2: Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng dần) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng dần) thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm bậc nhất trên đoạn (a;b) chứa điểm x0, f'(x0) = 0 và f có đạo hàm bậc hai khác 0 tại điểm x0.

• Nếu f”(x0)

• Nếu f”(x0) > 0 thì hàm f đạt cực tiểu tại điểm x0.

• Nếu f”(x0) = 0 thì chưa thể kết luận được mà cần lập bảng biến phân hoặc bảng xét dấu của đạo hàm.

Số điểm cực trị của hàm số

Mỗi loại hàm số có số điểm cực trị khác nhau, kết luận có thể là: Không có điểm cực trị, có 1 điểm cực trị trong phương trình bậc 2, có 2 điểm cực trị trong phương trình bậc 3,. ..

Lưu ý các điểm cực trị của hàm số:

• Điểm cực đại (hoặc cực tiểu) của x0 chính là điểm cực trị. Giá trị tối đa (hoặc giá trị tối thiểu) f(x0) thường được gọi là giá trị cực trị. Tại một điểm có thể có nhiều cực đại và cực tiểu.
• Giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) f(x0) KHÔNG phải là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm f mà chỉ là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm f trên khoảng (a;b) chứa x0 .
• Nếu điểm cực trị của f là x0 thì điểm (x0; f(x0)) là điểm cực trị của hàm f.

Cách tìm điểm cực trị của hàm số

Mỗi hàm có các thuộc tính và cách tìm giá trị cực trị khác nhau. Sau đây Nguyễn Tất Thành sẽ giới thiệu tới các bạn cách xác định điểm cực trị của dạng hàm số thường gặp trong đề thi.

Tìm cực trị của hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) với tập xác định D = R. Ta có: y’ = 2ax + b.

Xác định điểm cực trị của hàm bậc ba

Hàm bậc ba có dạng: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) với tập xác định D = R. Ta có: y’ = 3ax2 + 2bx + c → Δ’ = b2 – 3ac.

Cách tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba:

Xem thêm : 20+ cách trả lời điểm mạnh điểm yếu tiếng Anh khi phỏng vấn thu hút

Chúng ta có thể phân tích: y = f(x) = (Ax + B)f ‘(x) + Cx + D bằng cách chia đa thức f(x) cho đa thức f ‘(x).

Giả sử hàm số đạt cực đại tại x1 và x2

Ta có: f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D → f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0

Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f ‘(x2) = 0

Kết luận: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình: y = Cx + D

Cách tính cực trị của hàm số bậc hai (Hàm Co-square)

Hàm song song có dạng: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) với tập xác định D = R. Ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b) và y ‘ = 0 x = 0 2ax^2 + b = 0 x = 0 x62 = -b/2a.

• Khi -b/2a ≤ 0 b/2a ≥ 0 thì y’ chỉ đổi dấu một lần khi x đi qua x0 = 0 → Hàm số đạt cực đại tại xo = 0

• Khi -b/2a > 0 b/2a thì y’ đổi dấu 3 lần → hàm số có 3 giá trị cực trị

Cách xác định giá trị cực trị của hàm lượng giác

Phương pháp tìm cực trị của hàm lượng giác như sau:

• Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

• Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f'(x), giải phương trình y’=0, giả sử nghiệm x=x0.

• Bước 3: Sau đó ta tìm đạo hàm y”.

Xác định điểm cực trị của hàm logarit

Chúng ta cần làm theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

• Bước 2: Tính đạo hàm y’, sau đó giải phương trình y’=0, giả sử nghiệm x=x0.

• Bước 3: Xét hai khả năng:

  
  

• Nếu xét được dấu của y’: Khi đó: lập bảng biến thiên và rút ra kết luận dựa trên định lý 2.

• Nếu dấu của y’ không xét được: Khi đó:

Các dạng bài tập phổ biến tìm cực trị của hàm số

Bởi vì các bài toán có giá trị cực trị xuất hiện thường xuyên trong các kỳ thi THPT quốc gia hàng năm. Nắm rõ tình hình chung, Nguyễn Tất Thành đã tổng hợp 3 dạng bài toán thường gặp liên quan đến giá trị cực trị của hàm số, giúp các bạn luyện tập dễ dàng hơn.

Dạng 1: Tìm điểm cực trị của hàm số

Có 2 cách giải bài toán tìm cực trị của hàm số, các bạn có thể thực hiện theo dưới đây.

Cách 1:

• Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

• Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm trong đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) chưa biết.

• Bước 3: Tạo bảng biến thể.

• Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Cách 2:

• Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

• Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i=1,2,3,…) là nghiệm của nó.

• Bước 3: Tính f”(x) và f”(xi ) .

• Bước 4: Dựa vào dấu của f”(xi), suy ra bản chất cực trị của điểm xi.

Ví dụ:

Tìm cực trị của hàm số y = 2×3 – 6x + 2.

Hướng dẫn giải pháp:

Tên miền D = R.

Tính y’ = 6x^2 – 6. Đặt y’= 0 ⇔ 6×2 – 6 = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = – 1, y = 6 và hàm số đạt cực đại tại x = 1, y = -2.

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại tại một điểm

Phương pháp giải:

Ở dạng toán này, chúng ta chỉ xét trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0. Sau đó, để giải quyết vấn đề này, chúng tôi tiến hành theo hai bước.

• Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 là y'(x0) = 0. Từ điều kiện này ta tìm được giá trị của tham số .

• Bước 2: Kiểm tra lại bằng cách sử dụng một trong 2 quy tắc tìm giá trị cực trị để xem giá trị của tham số vừa tìm được có đáp ứng yêu cầu của bài toán hay không?

Ví dụ:

Cho hàm y = x^3 – 3mx^2 +(m^2 – 1)x + 2, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.

Hướng dẫn giải pháp:

Miền D = R. Tính y’=3x^2 – 6mx + m^2 – 1; y” = 6x – 6m.

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2 →

⇔ m = 1.

Dạng 3: Đối số dựa trên m giá trị cực trị của hàm

Đối với các giá trị cực trị của hàm bậc ba

Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a ≠ 0. Khi đó, ta có: y’ = 0 ⇔ 3ax^2 + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b^2 – 3ac.

• Nếu phương trình (1) không có nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có giá trị cực trị.

• Hàm bậc ba không có cực trị ⇔ b^2 – 3ac ≤ 0

• Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có hai giá trị cực trị.

• Hàm bậc ba có 2 giá trị cực trị ⇔ b^2 – 3ac > 0

Đối với cực trị của hàm bậc hai

Cho hàm số: y = ax^4 + bx^2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C). Khi đó, ta có: y’ = 4ax^3 + 2bx; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x^2 = -b/2a.

Ví dụ:

Tìm m sao cho hàm số y = x3 + mx + 2 có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải pháp:

Ta có: y’ = 3×2 + m → Hàm số y = x3 + mx + 2 có cả cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’= 0 có hai nghiệm phân biệt. vậy tôi

Một số bài tập tự luyện tìm cực trị của hàm số

Đáp án của các bài tập trên là: 1A; 2D; 3A; 4A; 5A; 6A; 7D; 8D; 9D; 10B; 11C.

Trên đây là toàn bộ những kiến ​​thức về giá trị cực trị của hàm số mà Nguyễn Tất Thành muốn chia sẻ đến bạn đọc. Hy vọng bài viết này sẽ giúp ích cho các bạn phần nào trong việc ôn tập cho kỳ thi sắp tới. Hãy đồng hành cùng bạn nhé!

Nguồn: https://truongnguyentatthanh.edu.vn
Danh mục: Giáo dục