Công thức tính thể tích của khối lăng trụ

01/12/2024 14:24 4

Nội dung bài viết

Thể tích lăng kính: Công thức và bài tập
1. Khái niệm lăng kính
2. Một số dạng lăng kính
3. Thể tích của lăng trụ đứng
4. Ví dụ tính thể tích lăng kính
5. Bài tập thể tích lăng kính

Lăng kính là gì? Làm thế nào để tính khối lượng của một lăng kính? Đây là câu hỏi được rất nhiều bạn sinh viên quan tâm. Mời các bạn theo dõi bài viết dưới đây để có được câu trả lời.

Có thể bạn quan tâm

Trong bài này chúng tôi sẽ giới thiệu đến các bạn toàn bộ kiến thức về lăng kính, cách tính thể tích lăng kính cùng với một số bài tập minh họa có đáp án chi tiết. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích, giúp các bạn củng cố kỹ năng giải toán và đạt điểm cao trong các bài kiểm tra, kỳ thi sắp tới. Ngoài ra các bạn cũng có thể xem thêm cách tính chu vi hình chữ nhật và diện tích hình vuông.

Bạn đang xem: Công thức tính thể tích của khối lăng trụ

Thể tích lăng kính: Công thức và bài tập

1. Khái niệm lăng kính

Một đa giác có hai mặt đáy song song, bằng nhau và một hình bình hành ở các cạnh được gọi là lăng kính.

Tên của lăng kính

Lăng kính được đặt tên dựa trên cơ sở của nó.

Ví dụ:

– Nếu đáy của lăng trụ là tam giác đều thì gọi là lăng trụ tam giác đều.

– Nếu tứ giác đều là mặt đáy thì ta gọi đó là tứ giác đều.

lăng kính dọc

Khi các cạnh bên của lăng kính vuông góc với đáy thì nó được gọi là lăng kính đứng.

Chú ý:

– Khi mặt đáy là hình chữ nhật thì lăng trụ đứng của hình tứ giác còn gọi là hình hộp chữ nhật.

– Nếu một hình trụ tứ giác có 12 cạnh dài a thì ta gọi đó là hình lập phương.

2. Một số dạng lăng kính

a) Lăng trụ đứng: là lăng kính có các cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài của cạnh được gọi là chiều cao của lăng kính. Lúc này, các mặt bên của lăng kính đứng là hình chữ nhật.

b) Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các cạnh của lăng kính đều là những hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều… được hiểu là lăng trụ đều.

Xem thêm : Toàn cảnh drama Quán quân Rap Việt mùa 3 Double2T gạ tình, bệnh ngôi sao

c) Hình hộp: Một hình lăng trụ có đáy hình bình hành.

d) Hình chữ nhật: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành

e) Hình chữ nhật: là hình hộp thẳng đứng có đáy là hình chữ nhật

f) Lăng kính đứng: có đáy là hình vuông, các mặt đều là hình vuông gọi là hình lập phương (hoặc hình chữ nhật có ba chiều bằng nhau gọi là hình lập phương)

Bình luận:

Lăng trụ chữ nhật là lăng trụ đứng (Tất cả các mặt đều là hình chữ nhật)
Hình lập phương là một lăng kính đều (tất cả các cạnh đều bằng nhau).
Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng (cạnh là hình chữ nhật, đáy là hình bình hành).

3. Thể tích của lăng trụ đứng

Công thức tính thể tích của lăng trụ đứng:

V = S*h

Trong đó:

S là diện tích cơ sở
h là chiều cao của lăng kính.

Ghi chú: Lăng kính đều là lăng kính đứng có đáy là đa giác đều.

4. Ví dụ tính thể tích lăng kính

Ví dụ 1:

Cho lăng kính ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều có cạnh a = 2 cm và chiều cao h = 3 cm. Tính thể tích của lăng kính này?

Phần thưởng:

$S_{ABC}=a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=2^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\left(m ^2\phải)$

Khi đó thể tích của lăng trụ là:

$V=S_{ABC} \cdot h=\sqrt{3} \cdot 3=3 \sqrt{3}\left(m^3\right)$

Ví dụ 2:

Cho hình hộp đứng có cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích khối A’.ACD’

Hướng dẫn:

Xem thêm : TOP 99+ ảnh chill, tâm trạng, độ phân giải cao làm hình nền

Vì cạnh ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:

$S_{AA' D'}=\frac{1}{2} S_{AA' D' D}$ $V_{A' \cdot ACD'}=V_{C \cdot AA' D'}=\frac{1}{2} V_{C \cdot AA' D' D}$ $=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} V_{ABCD \cdot A'B'C'D'}$ $=\frac{1}{6} \cdot 3 a \cdot 2 a \cdot 2 a=2 a^3$

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc ở giữa và đáy bằng 60°. Gọi M là trung điểm của BB’. Tính thể tích của hình chóp M.A’B’C’.

Phần thưởng:

$AA' = AC \cdot tan ∠A'CA$ $=a \sqrt{3} \cdot tan 60^{\circ}=3 a$ $S_{A'B''C'}=\frac{(a \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{3 a^2 \sqrt{3}}{4}$ $MB' = \frac{AA'}{2}=\frac{3 a}{2}$ $\Rightarrow V_{M \cdot A'B'C'}=\frac{1}{3} MB' \cdot S_{A'B'C'}=\frac{3 a^2 \sqrt{3}} {8}$

Ví dụ 4:

Cho một hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) có đáy ABCD tạo một góc 60°. Tính thể tích của lăng trụ ABCD.A’B’C’D?

$AC ⊥ BD$ $CC' ⊥ BD$ $BD ⊥ (COC')$ $((C'BD),(ABCD)) = ∠(C'OD) = 60°$

Một lần nữa có:

$OC=\frac{AC}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow CC^{\prime}=OC \cdot \tan \widehat{C^{\prime} OD}$ $=\frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \tan 60^{\circ}=\frac{a \sqrt{6}}{2}$ $V_{ABCD \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=S_{ABCD} \cdot CC^{\prime}$ $=a^2 \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2}=\frac{a^3 \sqrt{6}}{2}$

5. Bài tập thể tích lăng kính

Bài 1. Một bể nước hình trụ có diện tích đáy B = 2 m2, chiều cao h = 1 m. Thể tích của bể nước này là bao nhiêu?

Giải pháp

Áp dụng công thức V = Bh = 2,1 = 2 m3.

Bài học 2: $ABC \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ $\mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{BC}=2 \mathrm{a}, \mathrm{AA}^{\prime}=3 \mathrm{a}$ $(\alpha)$ $\mathrm{CA}^{\prime}$ $\mathrm{CC}^{\prime}$ $\mathrm{BB}^{\prime}$ $\mathrm{AMN}$ $A. \frac{a^{2} \sqrt{14}}{6}$ $B. \frac{a^{2} \sqrt{14}}{3}$ $C. \frac{a^{2} \sqrt{14}}{9}$ $D. \frac{a^{2} \sqrt{14}}{7}$

Câu 3: Cho hình lăng trụ tứ giác có các cạnh bằng a. Thể tích của lăng kính này:

$A. \frac{{{a}^{3}}}{2}$ $B. {{a}^{3}}$ $C. \frac{{{a}^{3}}}{3}$ $D. \frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$

Câu 4: Cho hình lăng trụ đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích của lăng kính này như sau:

$A. 9{{a}^{3}}$ $C. 3{{a}^{3}}$ $B. 12{{a}^{3}}$ $D. 18{{a}^{3}}$ Câu hỏi 5: $AA'=2a\sqrt{3}$ $A. \frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ $B. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ $C. 2{{a}^{3}}\sqrt{3}$ $D. 4{{a}^{3}}\sqrt{3}$ Câu hỏi 6 $2{{a}^{2}}$ $A. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ $B. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ $C. {{a}^{3}}\sqrt{3}$ $D. \frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$ Câu hỏi 7 $a\sqrt{2}$ $A. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{72}$ $B. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{32}$ $C. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$ $D. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{36}$