Chuyên đề số phức ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán: Lý thuyết & Bài tập

Bạn đang loay hoay ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, đặc biệt là phần số phức. Đừng lo lắng! Những kiến ​​thức tổng hợp về số phức (lý thuyết và bài tập) mà Nguyễn Tất Thành cung cấp trong bài viết này sẽ là người bạn đồng hành đắc lực giúp các bạn chinh phục điểm cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề số phức trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia năm 2024

Căn cứ đề thi tham khảo môn Toán do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố, trong cấu trúc đề thi Toán THPT quốc gia năm 2024, chủ đề số phức chiếm khoảng 6 câu hỏi, trong đó có 4 câu ở mức độ nhận biết và hiểu biết, 2 Câu thuộc tính ứng dụng, ứng dụng cao. Vì vậy, việc ôn tập kỹ lưỡng kiến ​​thức về số phức là vô cùng quan trọng đối với các thí sinh tham gia Kỳ thi THPT quốc gia năm 2024.

Bạn đang xem: Chuyên đề số phức ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán: Lý thuyết & Bài tập

Kiến thức chung về số phức để luyện thi THPT quốc gia

Dưới đây là toàn bộ kiến ​​thức về số phức trong kỳ thi THPT quốc gia đã được Nguyễn Tất Thành tổng hợp lại, giúp các thí sinh ôn tập dễ dàng hơn.

Khái niệm số phức

Số phức là biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là số thực và số i thỏa i2 = -1.

Ký hiệu số phức là z, viết là z = a + bi.

Trong đó:

• tôi được gọi là đơn vị ảo

• a được gọi là phần thực, ký hiệu Re(z) = a

• b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi, ký hiệu Im(z) = b

• Tập hợp số phức được ký hiệu là C.

Ghi chú:

• Mọi số thực dương a được coi là số phức có phần ảo b = 0, z = a.

• Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số ảo thuần túy hoặc số ảo.

• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau

Đặt z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức được biểu diễn bằng một điểm M(a;b) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) đại diện cho một số phức z = a + bi .

Cộng và trừ số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

Nghĩa là:

phép nhân số phức

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i.

Nghĩa là:

zz’ = aa’ – bb’ + (ab’ – a’b)i

Liên hợp số phức

Số liên hợp phức là nội dung quan trọng trong đề tài số phức mà thí sinh cần chú ý.

Mô-đun số phức

Chia số phức khác 0

Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2 + b2 > 0 )

Chúng ta định nghĩa nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0, là số:

Thương số z’/z của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:

Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức nêu trên còn có đầy đủ các tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.

Phương trình bậc hai có hệ số thực

Một số kết quả nhanh về số phức cần nhớ

Dưới đây là tổng hợp số phức trong đề thi Đại học kèm theo một số kết quả ghi nhớ nhanh, giúp thí sinh giải các câu hỏi nhanh chóng và dễ dàng hơn.

Xem thêm : Con dê tiếng Anh là gì? Từ vựng về con dê trong tiếng Anh

1. i0 = 1 => i4n = 1

2. i1 = i => i4n+1 = i

3. i2 = -1 => i4n+2 = -1

4. i3 = – i => i4n+3 = -i

5. (1 – i)2 = -2i

6. (1 + i)2 = 2i

Hướng dẫn giải bài tập số phức tạp thi THPT quốc gia

Nguyễn Tất Thành hướng dẫn thí sinh cách giải các bài tập số phức tạp thi THPT quốc gia một cách chi tiết và nhanh chóng nhất.

Dạng 1: Tính hệ số của số phức

Giải hệ số của số phức là dạng bài tập số phức đơn giản, dễ thực hiện nhất trong kỳ thi THPT quốc gia mà các thí sinh nên chú ý.

Hướng dẫn: Đối với bài tập chủ đề số phức này, thí sinh cần sử dụng các định nghĩa và các phép toán tính các thừa số liên quan để tính các thừa số khác nhau của số phức.

Ví dụ: Cho hai số phức z1 = 5 – 7i và z2 = 2 + 3i. Tìm số phức z = z1 + z2.

Hướng dẫn giải pháp:

z = z1 + z2 = (5 – 7i) + (2 + 3i) = 7 – 4i

Dạng 2: Phương trình trên tập số phức

Hướng dẫn: Sử dụng các phương pháp giải phương trình mẫu như phương trình cấp một, phương trình bậc hai… với ẩn số là số phức z.

Ví dụ:

Dạng 3: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện

Hướng dẫn: Để giải bài toán tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Đặt z = a +bi (a,b thuộc R)
• Bước 2: Thay điều kiện để được hệ phương trình với hai ẩn số a,b.
• Bước 3: Giải a, b.

Chú ý:

Ví dụ:

Mẫu 4: Biểu diễn hình học của số phức

Hướng dẫn: Giả sử z = x + yi (x, y thuộc R). Khi đó số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng phức bằng điểm M(x;y). Thí sinh có thể sử dụng dữ liệu của câu hỏi để tìm mối liên hệ giữa x và y, từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Một số locus phổ biến:

Với z = x + yi (x, y là số thực) thì nếu:

x = a : Quỹ tích z là đường thẳng x = a (song song với Oy).

y = b: Quỹ tích z là đường thẳng y = b (song song với Ox).

(x – a)2 +( y – b)2 = R2 : Quỹ tích z là đường tròn có tâm I(ab) và bán kính R.

(x – a)2 +( y – b)2 =2 : Quỹ tích z là một đường tròn có tâm I(ab) và bán kính R (bao gồm cả biên).

(x – a)2 +( y – b)2 >= R2 : Quỹ tích z là các điểm nằm ngoài đường tròn có tâm I(ab) và bán kính R.

Ví dụ: Cho số phức z = 1 – 2i. Điểm nào dưới đây biểu thị số phức w = iz trên mặt phẳng tọa độ?

Hướng dẫn giải pháp:

Chúng ta có w = iz = i(1 – 2i) = 2 + i. Suy ra điểm biểu diễn của số phức w là N (2;1).

Đáp án: B

Dạng 5: Giá trị cực trị của số phức

Các giá trị cực trị của số phức là một dạng bài toán trong chủ đề số phức có tính ứng dụng cao mà thí sinh cần đặc biệt chú ý nếu muốn đạt điểm 8 trở lên.

Hướng dẫn: Sử dụng các kiến ​​thức cơ bản như: Bất đẳng thức giữa trung bình số học và trung bình hình học, bất đẳng thức Bunhia-Copsky, bất đẳng thức hình học và một số bài toán sử dụng công cụ sau:

Vấn đề về công cụ 1:

Cho đường tròn cố định (T) tâm I, bán kính R và điểm cố định A. Điểm M di chuyển trên đường tròn (T). Xác định vị trí điểm M sao cho AM lớn nhất và nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải pháp:

Trường hợp 1: A thuộc đường tròn (T)

Chúng tôi có:

Trường hợp 2: A không thuộc đường tròn (T)

Gọi B, C là giao điểm của đường thẳng qua A, I và đường tròn (T);

Giả sử AB

+ Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì với mọi điểm M trên (T), ta có:

AM >= AI – IM = AI – IB = AB, sự bằng nhau xảy ra khi M trùng với B.

sáng =

+ Nếu A nằm trong đường tròn (T) thì với mọi điểm M trên (T), ta có:

AM >= IM – IA = IB – IA = AB, đẳng thức xảy ra khi M trùng với B.

sáng =

Vậy khi M trùng với B thì AM đạt giá trị nhỏ nhất, khi M trùng với C thì AM đạt giá trị lớn nhất.

Xem thêm: Cấu trúc đề thi THPT quốc gia 2024 & Mẹo giải toán hiệu quả

Vấn đề về công cụ 2:

Cho hai đường tròn (T1) có tâm I và bán kính R1; đường tròn (T2) có tâm J và bán kính R2. Tìm vị trí điểm M trên (T1) và điểm N trên (T2) sao cho MN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải pháp:

Gọi d là đường thẳng đi qua I, J; d cắt đường tròn (T1) tại hai điểm phân biệt A và B (giả sử JA > JB); d cắt (T2) tại hai điểm phân biệt C và D (giả sử ID > IC).

Với điểm M bất kỳ trên (T1) và điểm N bất kỳ trên (T2).

Chúng tôi có:

MN = 1 + R2 + IJ = AD, đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D.

MN >= | IM – VÀO | >= |IJ – IM – JN| = |IJ – R1 + R2| = BC, đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C.

Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt giá trị lớn nhất, khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Vấn đề về công cụ 3:

Cho hai đường tròn (T) tâm I, bán kính R; đường thẳng [denta] không có gì chung với (T). Tìm vị trí điểm M trên (T), điểm N trên [denta] sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải pháp:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d.

Đoạn IH cắt đường tròn (T) tại J.

Với M thuộc đường thẳng [denta]N thuộc đường tròn (T), ta có:

MN >= IN – IM >= IH – IJ = JH = const, đẳng thức xảy ra khi M trùng với H và N trùng với I.

Vậy khi M trùng với H; N trùng với J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất.

Với những kiến ​​thức, kỹ năng về số phức được Nguyễn Tất Thành trang bị từ bài viết này, các bạn hoàn toàn có thể tự tin chinh phục điểm cao trong kỳ thi THPT quốc gia. Ôn tập thường xuyên, luyện giải đề liên tục và đừng quên tham khảo các tài liệu ôn thi khác để củng cố kiến ​​thức toàn diện. Chúc các bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi!

Nguồn: https://truongnguyentatthanh.edu.vn
Danh mục: Giáo dục