Chi tiết lý thuyết và bài tập ứng dụng hàm số lượng giác, phương trình hàm số lượng giác trong toán học

Bài viết này của Nguyễn Tất Thành sẽ chia sẻ kiến ​​thức chi tiết từ cơ bản đến nâng cao về hàm số lượng giác trong toán học. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng tổng hợp và ghi nhớ tốt hơn những kiến ​​thức đã học ở trường.

Hàm lượng giác là gì?

Hàm lượng giác là hàm toán học của các góc, được sử dụng khi nghiên cứu tam giác và các hiện tượng tuần hoàn. Các hàm lượng giác của một góc thường được xác định bằng tỷ số độ dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó hoặc tỷ số độ dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm cụ thể trên đường tròn đơn vị.

Bạn đang xem: Chi tiết lý thuyết và bài tập ứng dụng hàm số lượng giác, phương trình hàm số lượng giác trong toán học

Các công thức hàm lượng giác đầy đủ nhất

Sau đây là các công thức hàm lượng giác mà các bạn thường gặp trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia.

Công thức hàm lượng giác cơ bản

Công thức cộng trong hàm lượng giác

Mẹo để nhớ nhanh các công thức cộng trong hàm số là câu “For sin then sin cos cos sin, for cos then cos cos sin sin trừ dấu. Tan rồi tan that tan chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.”

Công thức liên hệ các cung trên đường tròn lượng giác

Hai góc đối đỉnh:

• cos (-x) = cos x

• tội lỗi (-x) = -sin x

• tan (-x) = -tan x

• cái cũi (-x) = -cái cũi x

Hai góc phụ nhau:

• tội lỗi (π – x) = tội lỗi x

• cos(π – x) = -cos x

• tan(π – x) = -tan x

• cot (π – x) = -cot x

Hai góc phụ nhau:

• sin(π/2 – x) = cos x

• cos (π/2 – x) = sin x

• tan(π/2 – x) = cot x

• cot (π/2 – x) = tan x

Hai góc đó ít nhiều bằng π:

• tội lỗi (π + x) = -sin x

• cos(π + x) = -cos x

• tan(π + x) = tan x

• Xem thêm : Lựa chọn lớp học cho trẻ chậm nói: Danh sách các tiêu chí cần đánh giá!

  cái nôi (π + x) = cái nôi x

Hai góc đó ít nhiều bằng π/2:

• sin(π/2 + x) = cos x

• cos (π/2 + x) = -sin x

• tan(π/2 + x) = -cát x

• cot (π/2 + x) = -tan x

Mẹo để nhớ nhanh công thức như sau: “Cosin đối, phần bù sin, phần bù chéo, tan lớn hơn số π kém”.

Công thức nhân

Công thức rút gọn trong hàm lượng giác

Công thức quy đổi tổng thành tích

Mẹo giúp bạn dễ nhớ công thức: “Cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 cosin, sin trừ sin bằng 2 cos.”

Công thức chuyển tích thành tổng

Giải phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt:

• tội lỗi a = 0 ⇔ a = kπ; (k ∈ Z)

• sin a = 1 ⇔ a = π/2 + k2π; (k ∈ Z)

• sin a = -1 ⇔ a = -π/2 + k2π; (k ∈ Z)

• cos a = 0 ⇔ a = π/2 + kπ; (k ∈ Z)

• cos a = 1 ⇔ a = k2π; (k ∈ Z)

• cos a = -1 ⇔ a = π + k2π; (k ∈ Z)

Xem thêm: Khái niệm và công thức số hữu tỉ, số hữu tỷ và số vô tỷ khác nhau như thế nào?

Các phương trình lượng giác cơ bản và các trường hợp đặc biệt

Phương trình sin x = sin α, sin x = a

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trình cos x = cos α, cos x = a

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trình tan x = tan α, tan x = a

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trình cot x = cot α, cot x = a

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trình bậc một của hàm lượng giác

Có dạng tại + b = 0 với a, b ∈ Ζ, a ≠ 0, trong đó t là một hàm lượng giác nhất định. Công thức giải như sau:

Đạo hàm của hàm lượng giác cơ bản

Đạo hàm của hàm lượng giác là một phương pháp toán học để tìm tốc độ biến đổi của hàm lượng giác theo sự thay đổi của một biến. Các hàm lượng giác phổ biến là sin(x), cos(x) và tan(x).

Cách tốt nhất để tính giới hạn của hàm lượng giác

Áp dụng hạn chế đặc biệt:

Các bước tìm giới hạn của hàm lượng giác của trong đó f(x) là hàm lượng giác

Bước 1: Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân đôi, công thức cộng, công thức biến đổi, v.v. để chuyển hàm lượng giác f(x) về dạng giới hạn đặc biệt tương tự nêu trên.

Bước 2: Áp dụng định lý giới hạn để tìm giới hạn cho trước.

Cách dễ nhất để tính chu kỳ của hàm lượng giác

Hàm y= f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x+T ∈ D;xT ∈ D và f(x+ T) =f(x). Nếu tồn tại số dương T nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm tuần hoàn có chu kỳ T.

Cách tìm chu kì của hàm lượng giác (nếu có):

• Hàm số y = k.sin(ax+b) có chu kỳ T= 2π/|a|

• Hàm số y= k.cos(ax+ b) có chu kỳ T= 2π/|a|

• Hàm số y= k.tan(ax+ b) có chu kỳ T= π/|a|

• Hàm số y= k.cot (ax+ b ) có chu kỳ là: T= π/|a|

• Hàm số y= f(x) có chu kỳ T1; hàm số T2 có chu kỳ T2 thì chu kỳ của hàm số y= af(x)+ bg(x) là T = bội số chung nhỏ nhất của T1 và T2

Bài tập mẫu:

Hàm số nào sau đây là hàm tuần hoàn?

A. y= sinx- x

B. y= cosx

C. y= x.sin x

D. y=(x2+1)/x

Đáp án: Chọn B

Tập hợp các hàm xác định: D=R .

với mọi x ∈ D , k ∈ Z chúng ta có x-2kπ ∈ D và x+2kπ ∈ D,cos(x+2kπ)=cosx .

Vậy y= cosx là hàm tuần hoàn.

Một số bài tập tự luyện về hàm số lượng giác

Trên đây là toàn bộ những thông tin về hàm lượng giác mà các bạn cần nhớ. Hy vọng với những chia sẻ thực tế của Nguyễn Tất Thành trên đây sẽ giúp các bạn dễ dàng chinh phục các đề thi sắp tới. Hãy đi cùng tôi.

Nguồn: https://truongnguyentatthanh.edu.vn
Danh mục: Giáo dục