Các dạng bài tập và ví dụ chi tiết

16 giờ 23 phút trước 2

Nội dung bài viết

1. Tổng quan về nhị thức Newton
2. Các dạng bài toán nhị thức Newton
3. Một số bài tập ứng dụng liên quan

1. Tổng quan về nhị thức Newton

Nhị thức Newton là một định lý quan trọng trong toán học, liên quan đến sự khai triển theo cấp số nhân của tổng và phân tích các đa thức bậc cao. Định lý này có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như các lĩnh vực khác, bao gồm:

Có thể bạn quan tâm

+ Tính tổ hợp và tuân thủ: Định lý nhị thức Newton là công cụ hữu ích để tính số cách sắp xếp hoặc chọn k phần tử từ n phần tử không theo thứ tự, có nhiều ứng dụng trong các bài toán tổ hợp và điều chỉnh.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập và ví dụ chi tiết

+ Dãy số: Định lý nhị thức Newton cũng thường được sử dụng để chứng minh tính chất của dãy số, như dãy Fibonacci, dãy Pascal.

+ Xác suất và thống kê: Trong lĩnh vực xác suất và thống kê, định lý nhị thức Newton giúp tính toán xác suất và biểu diễn phân bố xác suất, đặc biệt trong việc xác định xác suất của các biến ngẫu nhiên rời rạc.

+ Lý thuyết đồ thị: Định lý nhị thức còn được ứng dụng để tính số đồ thị con trong đồ thị, có ứng dụng quan trọng trong lý thuyết đồ thị và các bài toán mạng.

Công thức nhị thức Newton:

$trái (1+x ight)^{n}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^{2}C_{n}^{2}+...+x^ {n}C_{n}^{x}$

Đặc điểm của công thức nhị thức Newton:

+ Số hạng trong công thức là n+1

+ Tổng số mũ a và b trong mỗi số hạng luôn bằng số mũ nhị thức: (n – k) + k = n

+ Số hạng tổng quát của nhị thức là: Tk+1 = Cnk an-k bk (Đây là số hạng thứ k + 1 trong khai triển của (a + b)n)

+ Các hệ số nhị thức ở các vị trí đối xứng quanh tâm đều bằng nhau.

2. Các dạng bài toán nhị thức Newton

Bài toán xác định số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Newton

Bước 1: Thực hiện khai triển nhị thức Newton để xác định số hạng tổng quát: Khai triển nhị thức Newton

Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát: Khai triển nhị thức Newton

Bước 2: Theo đề bài, giải phương trình và hai số mũ phải bằng nhau. Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m. Tính k bằng công thức: k = (m – np) / (p – q). Hệ số của số hạng chứa xm là: Cnk an-k bk với k được tính. Nếu k không phải là số nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không có xm, hệ số phải bằng 0.

Lưu ý: Để tìm hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n, viết là a0 + a1x + … + a2nx2n

Đây là cách thực hiện:

Công thức nhị thức Newton: Các dạng bài toán và bài tập chi tiết

Xác định số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng có dạng bxp + cxq thành đa thức lũy thừa của x. Dựa vào số hạng tổng quát của hai khai triển ta tính được hệ số xm.

Lưu ý: Để tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton: Bài tập và ví dụ chi tiết

Cần tìm hệ số lớn nhất tương ứng với giá trị k lớn nhất để thỏa mãn bất đẳng thức.

Bài toán xác định hệ số trong khai triển nhị thức Newton.

Tìm hệ số xk trong khai triển nhị thức Newton

Xem thêm : 20 Cách Chế Biến Bánh Mì Sandwich Ăn Sáng Ngon, Đơn Giản

Phương pháp tổng quát: Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton. Xác định số hạng chứa xk và tính hệ số tương ứng.

Ví dụ: Tìm hệ số của x3 trong khai triển của (2 + x)5

Công thức nhị thức Newton: Bài tập và ví dụ chi tiết

Với k = 3 thì hệ số của x3 được tính là: C35. 22 = 40

Bài toán tính tổng và chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải:

Khai triển biểu thức: (a + b)n = C0n an + C1n an-1b + C2n an-2b2 + … + Cn-1n a bn-1 + Cnn bn

Từ đó, chúng ta có thể chứng minh điều cần thiết. Bằng cách thay thế a, b, n bằng các giá trị cụ thể, các phương trình sẽ được xác nhận. Đây là phương pháp áp dụng định lý nhị thức Newton vào các bài toán tổ hợp.

Các vấn đề áp dụng nhị thức Newton trong tổ hợp

Chọn khai triển (a + x)n thích hợp, trong đó a là hằng số. Áp dụng các phép biến đổi đại số, đạo hàm hoặc tích phân nếu cần. Thay thế x bằng một giá trị cụ thể dựa trên điều kiện của bài toán.

3. Một số bài tập ứng dụng liên quan

Câu 1. Xác định hệ số của các số hạng trong khai triển

a) (2x – 3y)17 chứa x8y9

b) (3x – x2)12 chứa x15

c) Chứa x11

d) Chứa x2

Hướng dẫn giải thích chi tiết

Số hạng tổng quát trong khai triển là

Câu 2. Tìm hệ số x5 trong khai triển: P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + … + 8(1 + x)8.

A.630

B.635

C. 636

D. 637

Giải thích: Các biểu thức (1 + x), (1 + x)2, …, (1 + x)4 không có số hạng chứa x5.

Hệ số của x5 trong khai triển 5(x + 1)5 là 5C55

Hệ số của x5 trong khai triển 6(x + 1)6 là 6C56

Hệ số của x5 trong khai triển 7(x + 1)7 là 7C57

Xem thêm : Bạn có biết 1973 năm nay bao nhiêu tuổi, thuộc cung gì, mệnh gì?

Hệ số của x5 trong khai triển 8(x + 1)8 là 8C58

Do đó, tổng hệ số của x5 trong khai triển P(x) là 5C55 + 6C56 + 7C57 + 8C58 = 636

Chọn phương án C.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Công thức nhị thức Newton: Các dạng bài toán và bài tập chi tiết

b) Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển

c) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển

Hướng dẫn cách giải:

Điều kiện: n ∈ ℕ, với n ≥ 4 Do đó, số hạng tổng quát trong khai triển là:

Số hạng chứa x10 ứng với điều kiện: 45 − 5k = 10 ⇔ k = 7.

Điều kiện: n ∈ ℕ, với n ≥ 2. Khi đó:

Số hạng tổng quát trong khai triển là: Để thu được số hạng chứa x2, ta có: 12 − 5k = 2 ⇔ k = 2.

Công thức nhị thức Newton: Các dạng bài toán và bài tập cụ thể Điều kiện: n ∈ ℕ, với n ≥ 3 Trong phần mở rộng, thuật ngữ chung được định nghĩa là

Câu 5. Tìm giá trị n là số nguyên dương sao cho trong khai triển (1 + x2)n hệ số x8 gấp 6 lần hệ số x4.

Hướng dẫn giải pháp

Điều kiện: n ∈ ℕ và n ≥ 4. Khi đó, số hạng tổng quát trong khai triển là:

Do đó, giá trị n cần tìm là 11.

Câu hỏi 6.

a) Nếu tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2)n là 1024 thì xác định hệ số x12.

Hướng dẫn cách giải quyết

a) Tổng các hệ số trong khai triển (1 + x2)n được cho là 1024. Để tìm hệ số của x12, ta đặt: P(x) = (1 + x2)n. Tổng các hệ số trong P(x) là P(1) = 2n. Vì tổng các hệ số trong (1 + x2)n là 1024 nên ta có: 2n = 1024 ⇔ n = 10.

Khi đó, số hạng tổng quát trong khai triển sẽ là Hướng dẫn chi tiết công thức nhị thức Newton và bài tập liên quan N Do đó, số hạng tổng quát trong khai triển sẽ là