Hàm số đồng biến trên R – Hàm số nghịch biến trên R khi nào?

Kiến thức về hàm số nói chung hoặc hàm số biến thiên trên r nói riêng là một trong những nền tảng cơ bản của toán học. Vì vậy, trong bài viết này Nguyễn Tất Thành sẽ tập trung trả lời các câu hỏi như: “Hàm số là gì?”, “Khi nào hàm số là hằng số trên r?”, “Khi nào hàm số nghịch đảo trên r?”…

Khi nào một hàm đồng nhất trên r? Khi nào hàm nghịch đảo trên r?

Đầu tiên, chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số thay đổi trên r là hàm số trước tiên phải được xác định trên R.

Bạn đang xem: Hàm số đồng biến trên R – Hàm số nghịch biến trên R khi nào?

Giả sử hàm y=f(x) là xác định, liên tục và có đạo hàm trên R. Khi đó hàm y=f(x) là đơn điệu trên R khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn:

Trong điều kiện thứ hai để hàm số thay đổi theo r, ta cần lưu ý rằng y’ có thể bằng 0 nhưng chỉ có thể bằng 0 tại các điểm hữu hạn (hoặc số điểm có đạo hàm bằng 0 là tập hợp đếm được).

Trong một số trường hợp cụ thể chúng ta cần nhớ điều kiện hàm số luôn thay đổi trên r như sau:

Hàm đa thức bậc 1

Hàm đa thức bậc 3

Lưu ý: Các hàm đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R, ví dụ: Hàm số bậc 2, 4,…

Định lý về tính hiệp biến của hàm số

Cho hàm y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó hàm sẽ hiệp biến và nghịch đảo với:

• Hàm y = f(x) đồng nhất trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0 với mọi giá trị x trong khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại các điểm hữu hạn.
• Hàm y = f(x) nghịch đảo trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x) 0 với mọi giá trị x trong khoảng (a;b). Dấu bằng xảy ra tại các điểm hữu hạn.

Các dạng bài tập phổ biến áp dụng hàm hiệp biến và hàm nghịch đảo trên r

Dưới đây là tổng hợp một số dạng bài tập liên quan đến điều kiện của hàm số đồng dư trên r để các bạn áp dụng và luyện tập:

Dạng 1: Tìm khoảng đồng dư – nghịch đảo của hàm số

Cho hàm số y = f(x)

Quy tắc:

• Tính f'(x), giải phương trình f'(x) = 0 để tìm nghiệm.

• Lập bảng xét dấu f'(x)

• Dựa vào bảng dấu hiệu và kết luận.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = -2×3 + 3×2 – 3x và 0 ≤ a

A. Hàm nghịch đảo trên ℝ

B. f (a) > f (b)

C. f (b)

D. f (a)

Xem thêm : Top 5 cách dạy trẻ 4 tháng tuổi thông minh ba mẹ hài lòng

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.

Ta có: f'(x) = -6×2 + 6x – 3

⇒ Hàm nghịch đảo trên ℝ.

0 ≤ af (b)

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m

Kiến thức tổng quát

• Để hàm số đều trên khoảng (a;b) thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∊ (a;b).

• Để hàm nghịch đảo trên khoảng (a;b) thì f'(x) 0, ∀ x ∊ (a;b).

Lưu ý: Giả sử hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d

Ví dụ: Hàm số y = x3 – 3×2 + (m – 2) x + 1 luôn bằng nhau khi:

Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.

Ta có: y’ = 3×2 – 6x + m – 2

Hàm số đều trên ℝ khi và chỉ khi y’ = 3×2 – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ

⇔ ∆’ 0 ⇔ 15 – 3m 0 ⇔ m ≥ 5

Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số

• Bước 1: Tìm tập hợp đã chỉ định

• Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) = 0. Tìm các điểm xi (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định được.

• Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

• Bước 4: Phát biểu kết luận về phạm vi đồng dạng và nghịch đảo của hàm số.

Ví dụ: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x4 + x2 – 2

Xem thêm : Nhạc giao hưởng cho thai nhi 4 tháng và những điều mẹ nên biết

Hàm được xác định cho mọi x ∊ ℝ

y’ = -4×3 + 2x = 2x (-2×2 + 1)

Đặt y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -√2/2 hoặc x = √2/2

Bảng biến thiên:

Các bài tập mẫu khác

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x³+2(m-1)x²+3x-2. Tìm m sao cho hàm số đã cho đồng nhất trên R.

Hướng dẫn giải pháp:

Với y=x³+2(m-1)x²+3x-2 đồng biến trên R thì (m-1)²-3.3<0⇔-3