Tổng hợp tất cả các kiến thức về hàm số bậc nhất và dạng bài tập thường gặp

Bài viết này của Nguyễn Tất Thành sẽ cung cấp cho bạn tất cả những kiến thức tổng quát về hàm bậc nhất. Bên cạnh đó còn có những dạng bài toán thường gặp trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT quốc gia hàng năm.

Có thể bạn quan tâm

1. Hàm bậc nhất là gì?

Để giải các bài toán về hàm bậc nhất, trước tiên các bạn cần hiểu rõ định nghĩa và các công thức liên quan. Dưới đây Nguyễn Tất Thành sẽ nói rõ hàm bậc nhất là gì và các công thức hàm bậc nhất để các bạn ghi nhớ.

Bạn đang xem: Tổng hợp tất cả các kiến thức về hàm số bậc nhất và dạng bài tập thường gặp

1.1 Lý thuyết hàm bậc nhất

Hàm bậc nhất là hàm được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số và a≠0. Và khi b = 0 hàm số bậc nhất có dạng y = ax, biểu thị mối tương quan tỉ lệ giữa y và x.

Thuộc tính cần nhớ:

Hàm bậc nhất y = ax + b được xác định cho mọi giá trị của x trong R và có các tính chất sau:

1.2 Các dạng bài tập cơ bản phổ biến

Bài tập về hàm bậc nhất có hai dạng cụ thể như sau:

Dạng 1: Xác định hàm bậc nhất

Hàm bậc nhất là hàm có dạng y = ax + b (a≠0).

Ví dụ: Với điều kiện nào của m, hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?

a) y = (m-1)x + m

b) y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m

c) y = √(m2-1).x + 2 .

Hướng dẫn giải pháp:

a) y = (m-1)x + m là hàm bậc nhất

y = (m-1)x + m ⇔ m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.

Vì vậy với mọi m ≠ 1, hàm y = (m – 1)x + m là hàm bậc nhất.

b) y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m là hàm bậc nhất

y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m

⇔ m – 3 = 0 ⇔ m = 3

Vậy với m = 3, hàm số y = (m2-2x -3)x2 + (m+1)x + m là hàm số bậc nhất.

c) y = √(m2-1).x + 2 là hàm bậc nhất

⇔ √(m2-1) ≠ 0 ⇔ m2 – 1 > 0 ⇔ m > 1 hoặc m

Vậy với m > 1 hoặc m

Dạng 2: Tìm m sao cho hàm số biến thiên đồng thời và ngược chiều

Chúng ta có hàm bậc nhất y = ax + b, (a≠0)

Ví dụ: Tìm a cho các hàm sau:

a) y = (a + 2)x + 3 hiệp phương sai trên R.

b) y = (m2 – m).x + m biến thiên trên R.

Hướng dẫn giải pháp:

a) y = (a + 2)x + 3 hiệp phương sai trên R

y = (a + 2)x + 3 ⇔ a + 2 > 0 ⇔ a > -2.

Vì vậy với mọi a > -2, hàm y = (a + 2)x + 3 là đều trên R.

b) y = (m2 – m)x + m biến thiên nghịch đảo trên r

y = (m2 – m)x + m ⇔ m2 – m

Vậy với 0

Ngoài ra, để hiểu rõ hơn về hàm số các bạn nên xem thêm kiến thức về hàm số liên tục trong toán học.

2. Đồ thị hàm số bậc nhất

Sau khi biết hàm bậc nhất là gì, bạn cũng cần hiểu rõ về đồ thị của hàm bậc một. Chỉ khi đó chúng ta mới giải được các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số bậc nhất.

2.1 Lý thuyết hàm số bậc nhất và đồ thị

Xem thêm : 50+ Tên tiếng anh bắt đầu bằng chữ V cho nam nữ độc đáo nhất

Đồ thị của hàm số y = ax + b, (a≠0) là đường thẳng cắt trục tung tại một điểm có điểm chặn bằng b, song song với đường thẳng y = ax nếu b≠0 và trùng với dòng y = ax nếu b=0.

Lưu ý rằng đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b, (a≠0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b, b được gọi là giao điểm của đường thẳng.

Xem thêm:

2.2 Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Trường hợp 1:

Khi b = 0 thì y = ax là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A đã biết (1;a).

Trường hợp 2: Xét y = ax với a khác 0 và b khác 0.

Chúng ta đã biết đồ thị của hàm số y = ax + b là đường thẳng nên về nguyên tắc chúng ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt của đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Cách thứ nhất:

Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị, ví dụ:

Cho x = 1 tính y = a + b, ta có điểm A (1; a+b)

Cho x = -1 tính y = -a + b, ta có điểm B (-1 ; -a + b)

Cách thứ hai:

Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ:

Cho x = 0 tính y = b, ta được điểm C (-b/a;0)

Cho y = 0 tính x = -b/a, ta có điểm D (-b/a; 0)

Vẽ đường thẳng đi qua A, B hoặc C, D ta được đồ thị của hàm số y = ax + b

Dạng đồ thị của hàm số y = ax + b (a≠0)

Trường hợp 3: Khi b khác 0

Chúng ta cần xác định hai điểm phân biệt bất kỳ trên đồ thị.

Bước 1: Cho x = 0 => y = b. Ta được điểm P(0;b)∈Oy.

Đặt y = 0 => x = −ba. Chúng ta nhận được Q(−ba;0)∈0x.

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q, ta được đồ thị của hàm số y = ax + b.

2.3 Bài tập vẽ đồ thị hàm số thông dụng có lời giải

Bài 1: Vẽ đồ thị của hàm số y = x + 2

Hướng dẫn giải pháp:

Chúng tôi có:

x = 0 ⇒ y = 2

x = −1 ⇒ y =1

→ Đồ thị hàm số y = x + 2 đi qua 2 điểm (0;2) và (−1;1).

Xem thêm : Danh từ riêng là gì? Nguyên tắc cần biết khi sử dụng danh từ riêng trong tiếng Việt

Bài 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = x − 3

Hướng dẫn giải pháp:

Chúng tôi có:

x = 0 ⇒ y = −3

x= 3 ⇒ y = 0

→ Đồ thị hàm số y = x − 3 đi qua 2 điểm (0;−3) và (3;0).

3. Sự biến đổi của hàm bậc nhất

Một kiến thức quan trọng khác mà học sinh cần chú ý khi học bài tập này là biến thể của hàm số bậc nhất. Lý thuyết và cách giải bài tập về biến phân của hàm số bậc nhất cụ thể như sau:

3.1 Hàm hiệp biến và hàm bậc nhất nghịch đảo

Khi nào hàm bậc nhất được định nghĩa là hiệp biến? Và khi nào nó đảo ngược? Học sinh thường dễ bị nhầm lẫn trong quá trình ghi nhớ. Đặc biệt là đối với những người lớn tuổi phải ghi nhớ nhiều công thức. Vì vậy, hãy cùng Nguyễn Tất Thành ôn lại định nghĩa sau đây về độ biến thiên của hàm bậc nhất nhé!

Hàm bậc nhất y = ax + b (a≠0) có miền xác định D = R, đồng nhất trên R nếu a > 0 và nghịch đảo trên R nếu a

Bảng biến thể của hàm bậc nhất:

3.2 Các dạng bài tập về biến thể của hàm số bậc nhất

Bài tập 1: Tìm k cho các hàm số sau

a, y= 5x – (2-x)k đồng biến và nghịch đảo.

b, y= (k2 – 4)x – 2 hiệp phương sai.

c, y= (-k2 + k – 1)x – 7 nghịch đảo.

d, y= (4 – 4k + k2)x + 2 hiệp phương sai.

Hướng dẫn giải pháp:

a, y= 5x – (2-x)k = 5x – 2k + kx = (5+k)x – 2k

Vậy hàm số có hệ số a= 5+k. Sau đó:

Bài tập 2: Cho hàm . Với giá trị nào của m:

a, Hàm đã cho là hàm bậc nhất

b, Hàm số đã cho là hàm số đều

c, Hàm đã cho nghịch đảo

Hướng dẫn giải pháp:

Hàm số đã cho có hệ số a= 3 – √(m+2).

a, Hàm đã cho là hàm bậc nhất ⇔ a ≠ 0 ⇔ 3 – √(m+2) ≠ 0 ⇔ √(m+2) ≠ 3

⇔ m + 2 ≠ 9 ⇔ m ≠ 7

Vậy m ≠ 7

b, Hàm số đã cho là đồng nhất khi a > 0 ↔ 3 – √(m+2) > 0 ⇔ √(m+2)

⇔ 0 ≤ m + 2

Vậy -2 ≤ m

c, Hàm đã cho nghịch đảo khi a 3

⇔ m + 2 >; 9 ⇔ m > 7

Vậy m > 7

Trên đây là toàn bộ kiến thức về hàm bậc nhất mà Nguyễn Tất Thành đã tổng hợp cho các bạn. Hy vọng những chia sẻ thiết thực này sẽ giúp các bạn có sự chuẩn bị vững chắc hơn cho kỳ thi sắp tới. Hãy đồng hành cùng bạn nhé!

Các bậc phụ huynh muốn con học giỏi Toán, đồng thời nâng cao khả năng ngôn ngữ thì đừng bỏ lỡ ứng dụng Nguyễn Tất Thành Math nhé!